Vežbe, sve smene (lekcije 7, 8 и 9)

[spantelic]

Najpre o Tejlorovom i Maklorenovom polinomu budući da preko mejla dobijam ubedljivo najviše pitanja u vezi sa njima, a i iz iskustva znam da studenti to često loše spreme ili čak "preskoče" spremajući pismeni (inače ako imate bilo kakva pitanja u vezi sa bilo čim - slobodno me pitajte mejlom na spantelic@mas.bg.ac.rs).

Dok ne okačim detaljniji zapis, mislim da je sledeći video dobar uvod u Tejlorov polinom za nekoga ko to vidi prvi put u životu - https://www.youtube.com/watch?v=N2LF9dy1Cxk
Imajte u vidu da se u videu radi o Tejlorovom polinomu u nuli što je Maklorenov polinom [tačnije, iz teorije već treba da znate da je Maklorenov polinom prosto specijalan slučaj Tejlorovog polinoma tj. kada razvijamo/pišemo Tejlorov polinom baš u nuli - dobijamo Maklorenov polinom]; dakle zato je u tekstu zadatka napisano "...Tejlorov polinom" a potom je ispisana formula za Maklorenov polinom. Takođe, pravilno je pisati "...Tejlorov polinom četvrtog stepena u tački a=0" (umesto"...u tački x=0" kao u videu) jer je x promenljiva koja se u ovom primeru kreće po intervalu [0,1].
Nakon što je napisao polinom, u nastavku se (u istom tom zadatku) radi procena ostatka(ili"greške") - https://www.youtube.com/watch?v=JT6tJxErPrs
Primetite da se, u izrazu koji je napisao za ostatak/grešku, θ (čita se"teta") po teoriji kreće od 0 do 1 (dakle to znamo unapred - iz formule za grešku), a promenljiva x se po tekstu zadatka kreće od 0 do 1 (sasvim slučajno, ovde su oba intervala ista). Dakle time se i proizvod θx kreće od 0 do 1, i da bi lakše procenili traženi maksimum petog izvoda u θx (jer kod procene greške nas zanima od čega greška nikad nije veća uz date pretpostavke) uvodi se smena θx=t i onda se traži maksimum odgovarajuće funkcije po t na intervalu od 0 do 1.

Za dalji rad, potsećam vas da na sajtu imate zbirku sa zadacima iz Tejlora (173-175.strana) - viewtopic.php?f=51&t=1509 [Primetite da ovde (u teorijskom uvodu) umesto f(0),f'(0),f''(0)...imate f(a),f'(a),f''(a)...a umesto x imate x-a tj. to je opšti,Tejlorov polinom; ako svugde zamenite a=0, dobijate formule koje ste videli u prethodnom videu - budući da je tamo i razvijano baš za a=0 (tj. rađen je specijalan slučaj = Maklorenov polinom). Isto važi i za izraz koji je u knjizi dat za ostatak("grešku aproksimacije"), zamenivši a=0 dobijamo izraz za ostatak("ostatak u Lagranžovom obliku") iz videa; štaviše to je i urađeno pri kraju teorijskog uvoda u knjizi, no iz iskustva znam da nije zgoreg ponoviti.]

Na sajtu takođe imate i zadatke za vežbu (Tejlorov polinom je pretposlednji link na listi) - viewtopic.php?f=51&t=393 [Da pojasnim par drugačijih oznaka: ovde je dat izraz za grešku Rn(x) u Maklorenovom polinomu, pri čemu je umesto θx na odgovarajućem mestu napisano t koje se kreće "između 0 i x"; No "θx za θ između 0 i 1"(kako je napisano u videu i u knjizi) se, kao što vidite, kreće između 0 i x - upravo kao i t koje ga ovde menja, tj.govorimo o istoj stvari na dva načina.]


Do daljneg, iz Ispitivanja funkcija i Krive u prostoru (jedan od naziva je i "Kriva kao hodograf/trag vektor-funkcije") imate zadatke na istim mestima i to:

- U materijalima za vežbu (link sam već dao gore - viewtopic.php?f=51&t=393) to su osmi i deseti link na listi;
- U knjizi (takođe sam već dao link - viewtopic.php?f=51&t=1509) imate ispitivanje funkcija počev od 165. strane no mislim da možete odmah "preskočiti" na crtanje grafika koje počinje na 186. strani (ovo pretpostavlja da ste savladali teoriju ili da je se sećate iz srednje škole; u suprotnom možete obnoviti sve to gledajući rešene primere iz konveksnosti,prevojnih tačaka, monotonosti, ekstrema itd. tj. od 165. strane pa nadalje).

PS imajte u vidu da se na kolokvijumu/pismenom očekuje da malo podrobnije opišete svoj postupak rada, budući da je u primerima iz knjige i materijala sve dato dosta sažeto; Inače, ako ste ove oblasti (Tejlora,Krive u prostoru itd.) već spremili na osnovu materijala koje su drugi okačili (da i ne spominjem izvode/funkcije/limese koji su u praktično srednja škola), ne morate ponovo prorađivati ove "moje" vežbe, uključujući i stvari koje ću tek okačiti na ovom istom mestu.

[spantelic]

U atačmentu je još nekoliko zadataka iz Tejlorovog polinoma (na početku sam, za svaki slučaj, dao i formule); ostatak Tejlora sledi, zajedno sa zadacima iz Krive u prostoru.

[spantelic]

U atačmentima je preostali deo zadataka; primetite da prvi fajl na listi nije identičan prethodno okačenom (iz Tejlorovog polinoma), tj. "dopisan" je još jedan zadatak.