Mehanika3 – 11.- ta nedelja nastave za 3.-ću smenu šk.2024/25

[ojeremic]

Poštovane koleginice i kolege ,
Pred vama je drugi deo predavanja iz Analitičke mehanike koji se odnosi na elementarni virtuelni rad sila (EVR), diferencijalne principe, Lagranževe jednačine druge vrste.
Elementarni virtuelni rad (EVR) sile (kraće: virtuelni rad), po definiciji, predstavlja skalarni proizvod vektora te sile i vektora bilo kog EVP napadne tačke te sile, u posmatranom trenutku t. Ukupni EVR sila koje deluje na MS predstavlja sumu EVR-ova svih sila koje deluju na MS (aktivnih sila, reakcija svih, i unutrašnjih i spoljašnjih, veza) na bilo kom, vezama dozvoljenom, elementarnom virtuelnom pomeranju posmatranog MS, a u posmatranom trenutku t . Oznaka za EVR je „𝛿 prim“, 𝛿 ´A . Dodatak „prim“ uz 𝛿 u oznaci za EVR obezbeđuje da se oznaka ove veličine razlikuje od oznake za elentarni rad sila, 𝛿𝐴. Kako su vektori EVP-a tačaka MS (𝛿𝑟⃗𝑖 , i=1,2,...N) u bilo kom trenutku t ,a u prostoru generalisanih koordinata, linearne forme n sinhronih varijacija (virtuelnih promena) generalisanih koordinata, to se ukupni EVR sila može dati u obliku skalarne linearne forme po elentarnim vituelnim promenama (sinhronim varijacijama) generalisanih koordinata,( 𝛿qj , j=1,2...,n). Koeficijenti te forme su skalarne veličine koje se nazivaju generalisane sile, Qj, j=1,2...,n. Broj ovih veličina je jednak broju stepena slobode MS-a, n. Svaka od veličina Qj predstavlja generalisanu sile po/u odnosu na odgovarajuću generalisanu koordinatu qj. Za određivanje generalisanih sila Qj, j=1,2...n, u zadacima biće korišćena činjenica da EVR sila MS-a sa GSZ vezama u trenutku t, ima formu ukupnog elementarnog rada tih istih sila, ali na ESP posmatranog MS koje on izvrši iz svog položaja u trenutku t, a tokom intervala vremena dt. Razlog za to nalazi se, pak, u činjenici da je za MS sa GSZ vezama ESP na bilo kom intervalu vremena [𝑡,𝑡+𝑑𝑡], jedno od mogućih EVP tog MS u trenutku t . To znači da je potrebno: 1.- Naći elementarni rad svake sile koja deluje na MS pri ESP tog sistema kao , skalarni proizvod vektora posmatrane sile i vektora ESP njene napadne tačke, ili, kao skalarni proizvod vektora te sile i vektora brzine njene napadne tačke u trenutku t pomnožen dužinom intervala vremena dt (diferencijalna promena bilo koje veličine položaja (vektora položaja tačaka, generalisanih koordinata itd.) u trenutku t, a na intervalu [𝑡,𝑡+𝑑𝑡], jednaka je proizvodu dužine tog interval dt i izvoda te veličine po vremenu u trenutku t). Kako se vektor ESP bilo koje tačke MS može izraziti preko diferencijalnih promena uvedenih generalisanih koordinata, dqj, odnosno, da je brzina bilo koje tačke MS vektorska, linearna forma generalisanih brzina, to se i konačan izraz za elementarni rad bilo koje sile koja deluje na MS može dovesti na oblik skalarne, linearne forme po dqj, j=1,2,..,n. 2.- Odrediti ukupan elementarni rad sila koje deluju na MS kao sumu elementarnih radova pojedinih sila. 3.- Pošto će izraz za ukupan elementarni rad sila koje deluju na MS imati, prema 1, oblik skalarne, linearne forme po dqj, j=1,2,..,n, i pošto je za MS sa GSZ vezama ESP jedno od mogućih EVP tog MS u trenutku t, to se prostom zamenom operatora diferenciranja d operatorom sinhronog variranja „delta“ u njemu, konačno dobija izraz za EVR svih sila koje deluju na MS; dakle, izraz za EVR sila koje deluju na MS imaće oblik skalarne, linearne forme po veličinama 𝛿qj, j=1,2,..,n
4.- Generalisana sila po (u odnosu na) na generalisanu koordinatu qj, tj. veličina Qj, predstavlja koeficijent u izrazu EVR uz 𝛿qj, j=1,2,..,n. 5.- EVR reakcije idealne spoljašnje GSZ veze jednak je nuli, pa su i sve njene generaliasane sile jednake nuli . 6.- EVR reakcija idealne unutrašnje GSZ veze jednak je nula ; ovaj rad za svaku unutrašnju vezu se, zbog principa akcije i reakcije, određuje kao zbir EVR-ov dve sile koje su istog inteziteta, istog pravca, a suprotnog smera, a koje deluju na dve tačke materijalnog sistema u kojima je realizovana posmatrana idealna
unutrašnje GSZ veza. Generalisane sile tog para sila po svim generalisanim koordinatama su jednake nuli. 7.- EVR reakcija svih idealnih spoljašnji i unutrašnjih GSZ veza jednak je nuli, pa ukupni EVR sila koje deluju na neizmenljiv MS sadrži samo elementarne virtuelne radove aktivnih sila; to znači da su generalisane sile u sistemu posledica samo dejstva aktivnih sila na posmatrani neizmenljiv MS. 8.- Ako neka od spoljašnjih veza nije idealna, odgovarajuća sila trenja se pridodaje aktivnim silama , jer je njen EVR različit od nule. 9.- Ako neka od unutrašnjih veza nije idealna, onda se par sila trenja koje, po principu akcije i reakcije u deluju u dvema tačkama MS između kojih je uspostavljena posmatrana unutrašnja veza, pridodaje aktivnim silama, jer je njhov ukupni EVR različit od nule . 10.- EVR sila u oprugama, bez obzira da li se one javljaju u sistemu kao spoljašnje ili unutrašnje veze, različit je od nule i predstalja negativnu sinhronu varijaciji (negativnu elementarnu virtuelnu promenu) funkcije potencijalne energije opuge (Ep* ili П*) . Potencijalna energija linearne opruge Ep* predstavlja funkciju n generalisanih koordinata preko veličine deformacija tih opruga. Generalisane sile od sila u orugama, Qel,j , određene su negativnim parcijalnim izvodima potencijalne energije opruge, Ep*, po generalisanim koordinatama. MS sa oprugama spadaju u klasu izmenljivih sistema, dok se sile u oprugama, takođe, pridodaju aktivnim silama. 11.- Iz EVR sistema inercijalnih sila u MS-u na način koji napred opisan, određuju se generaliasne inercijalne Qiner,j. Prema tim izrazima sledi da su ove generalisane sile određene parcijalnim izvodima kinetičke energije MS-a (Ek ili T) po generalisanim koordinatama i po njima odgovarajućim generalisanim brzinama. Opšti izraz za kinetičku energiju MS-a sa GSZ vezama je, kao što je rečeno, funkcija 2n nezavisnih promenljivih: n generalisanih koordinata i n generalisanih brzina.
U kursu iz analitičke mehanike koji se predaje razmatraju se dva diferencijalna principa i to:
1.-Lagranžev princip virtuelnih pomeranja - opšta jedanačina ststike
2.-Lagranž-Dalamberov princip virtuelnih pomeranja - opšta jednačina dinamike .
Ovi principi zovu se diferencijalni, jer oni preko EVR sila opisuju ponašanje vezanog MS na koji deluju poznate aktivne sile, a u infinitezimalnoj okolini bilo kog položaja tog MS na vezama. Iz njih se odgovarajaćum metodologijom, mogu dobiti jednačine ponašanja posmatranog MS u različitim prostorima, npr., u konfiguracinom prostoru MS (u prostoru generalisanh koordinata tog MS), a koje važe za svaki trenutak posmatranog intervala vremena.
Prvi pricip govori o potrebnim i dovoljnim uslovima mirovanja vezanog MS na koji deluju poznate aktivne sile. Primenom ovog principa mogu se dobiti jednačine ravnoteže, npr., proizvoljnog ravnog sistema sila.
Iz drugog principa dobija se n skalanih jednačina koje, tokom kretanja vezanog MS, moraju da zadovolje generalisane inercijalne sile i generalisane sile sistema aktivnih sila kojima su, eventualno, prododate sile trenja i sile u oprugama. U slučaju MS sa GSZ vezama (ali i u slučaju geometrijskih nestacionarnih zadržavajućih veza) ove jednačine iskaziju činjenicu da je suma navedenih generalisanih sila po svakoj generalisanoj koordinati jednaka nuli: Qj + Qiner,j = 0, j=1,2,...n .
Imajući u vidu izraze za generalisane inercijalne sile, iz ovih n jednačina dobija se sistem od n jednačina koji je poznat pod nazivom Lagranževe jednačine druge vrste. Ove jednačine ne sadrže reakcije idealnih veza, a njihov broj ne zavisi od broja tačaka, odnosno, tela u MS-u, već samo od broja stepeni slobode kretanja MS. One su po svojoj strukturi diferencijalne jednačine drugog reda po konačnim jednačinama kretanja MS u generalisanim koordinatama. Zbog toga se iz ovag sistema jednačina,u indirektnom zadatku mehanike, a uz poznavanje početnih uslova (poznate vrednosti generalisanih koordinata i generalisanih brzina u početnom trenutku) mogu odrediti konačnih jednačina kretanja MS.
Linkovi za video klipove ovog predavanja su:

https://youtu.be/N_1WAgPqsO8
https://youtu.be/rMFnl3G08oM