Mehanika3 – 10.- ta nedelja nastave za 3.-ću smenu šk.2024/25

[ojeremic]

Poštovane koleginice i kolege,
Ovo i sledeće predavanje odnose se na 3.-ću oblast Mehanike3 koja nosi naziv Analitička mehanika.
Njutnova, primenjena, tehnička mehanika, onako kako je razvijana od strane Njutna, Dalambera, Ojlera i drugih, s kraja XVII i prvom polovinom XVIII veka, predstavlja vektorsku mehaniku, s obzirom na činjenicu da su veličine koje karakterišu materijalni sistem (MS) u stanju kretanja (količina kretanja, moment količine kretanja za nepokretan i pokretan pol), kao i veličine koje karakterišu dejstvo prinude, vektorske veličine. U Njutnovoj mehanici: 1.- kretanje MS se razmatra u 3D- euklidskom prostoru (našem opažajnom prostoru); 2.- pre nego što se napišu diferencijalne jednačine kretanja MS, neophodno je izvršiti geometrijsku i kinematsku analizu kretanja posmatranog MS, pri čemu ne postoji univerzalni pristup toj analizi.
Univerzalni, sveobuhvatni metod analize kretanja MS, kako u klasičnoj mehanici, tako i u drugim, modernim oblastima fizike, razvio je Žozef Luj Lagranž (1736-1813) u svom delu „Analitička mehanika“. Ovaj metod matematičke fizike neprevaziđen je do danas. Osnovne karateristike ove metode su: 1.- veze (spoljašnje i unutrašnje) koje ograničavaju stanje kretanja MS (položaje MS u prostoru, a u odnosu na izabrani referentni objekat i brzine njegovih tačaka) izražavaju se analitički, pomoću jednačina i nejednačina, koje moraju da zadovolje veličine položaja i brzina tačaka tog MS, kao slobodnog (oslobođenog od veza). Ovo ima za posledicu da nakon matematičkog modeliranja veza MS, crteži mehaničkih modela tog MS, nisu potrebni; 2.- veličine koje karakterišu MS u stanju kretanja, kao i veličine koje karakterišu dejstvo prinude su skalarne veličine (kinetička energija, potencijalna energija, Lagranževa funkcija, generalisane sile...); 3.- teorija analitičke mehanike zasnovana je na pojmu elementarno (beskonačno malo) virtuelno (zamišljeno) pomeranje (EVP) materijalne tačke/sistema; ovo pomeranje matematički se izražava sinhronom varijacijom (δ) veličina položaja MS; 4.-kretanje MS se posmatra u višedimenzinalnom, neeuklidskom prostoru generalisanih koordinata MS, koji predstavlja konfiguracioni prostor tog MS.
Analitička mehanika bazira na diferencijalnim i integralnim principima.
Diferencijalni principi izražavaju stavove koji važe u beskonačno maloj okolini bilo koje konfiguracije MS koju on, pod dejstvom sila, zauzme na vezama. U ovom kursu centralno mesto zauzima Lagranž-Dalamberov princip (opšta jednačina dinamike), a biće pomenut i princip virtuelnih radova.
Integralni principi predstavljaju stavove kojima se izražava globalno ponašanje MS na intervalu vremena konačne dužine; nazivaju se još i ekstremalni, stacionarni i varijacioni principi, jer izražavaju ekstremalna (stacinarna) svojstva veličina, funkcionala, pri promeni konfigurije MS na posmatranom intervalu vremena.
Sva teorijska razmatranja u ovom kursu Analitičke mehanike zasnivaće se na analizi kretanja slobodnog i/ili vezanog MS koji se sastoji od konačno mnogo, N, materijalnih tačaka konačno velikih masa, a koje se nalaze na konačno velikim međusobnim rastojanjima.
Unutrašnje i spoljašnje veze koje smanjuju pokretljivost posmatranog MS, su istog tipa kao one sa kojima ste se susretali u Njutnovoj mehanici. Dakle, to su: 1.- zadržavajuće veze – MS ih ne napušta tokom svog kretanja; 2.- stacionarne veze – veze ne menjaju svoju formu u vremenu; i 3.- geometrijske veze – veze eksplicitno ograničavaju položaje kontaktnih tačaka MS sa njima, a samim tim i položaje nekih drugih tačaka tog MS; na indirektan način ove veze ograničavaju i brzine i ubrzanja tačaka MS (pogledati poglavlje o vezama u Mehanici 2). Zbog navedenih svojstva, idealne geometrijske, stacionarne, zadržavajuće, i spoljašnje i unutrašnje veze (GSZV), mogu se analitički predstaviti jednačinama koje moraju da zadovolje veličine položaja (Dekartove koordinate tačaka) , u teorijskom smislu, svih tačaka MS oslobođenog od tih veza. To znači da funkcije veza ( funcije na desnim stranama jednačina veza) u slučaju stacionarnih veza, zavise od 3N promenljivih, tj., od 3N Dekartovih koordinata N tačaka. U cilju isticanja specifičnosti dobijenih rezultata za napred opisan MS, na određenim mestima biće analizirane i geometrijske, nestacinarne, zadržavajuće veze, npr., pri analizi vezama dozvoljenih elementarnih stvarnih i elementarnih virtuelnih pomeranja MS.
Pretpostavlja se da je kretanje MS ograničeno sa l GSZV (poznato je l jednačina veza, pri čemu jedna mehanička veza može biti opisana sa više od jedne jednačine). Neka je u nekom trenutku t poznato stanje kretanja MS (poznate su vrednosti veličina položaja i vrednosti veličina koje određuju vektore brzina svih tačaka MS).
Elementarno stvarno pomeranje (ESP) MS u trenutku t , a na intervalu vremena beskonačno male dužine dt, [t,t+dt], predstavlja vezama dozvoljeno pomeranje tog MS iz njegovog posmatranog položaja na vezama u trenutku t, a koje se realizuje pod dejstvom sistema sila koji deluje na MS. ESP materijalnog sistema na bilo kom intervalu vremena [t,t+dt] određeno je diferencijalnim promenama (d) veličina položaja tog MS (vektora položaja, odnosno, Dekartovih koordinata svih tačaka MS) u trenutku t, a tokom intervala vremena dužine dt .
Elementarno virtuelno pomeranje ( EVP) MS u trenutku t predstavlja pomeranje MS (svih njegovih tačaka MS), iz posmatranog položaja MS na vezama u tom trenutku, u bilo koji drugi, virtuelni, zamišljeni, vezama dozvoljeni položaj u trenutku t, a koji se nalazi u beskonačno maloj okolini uočenog položaja. Pošto uočenom virtuelnom položaju MS odgovara isti trenutak t kao i stvarnom položaju MS na vezama, to znači da tokom EVP vreme ne teče na vezama (veze su zamrznute u vremenu), pa je tada: dt=0. Zbog toga je EVP materijalnog sistema u bilo kom trenutku t određeno je elementarnim virtuelnim promenama, tj., sinhronim varijacijama (δ), veličina položaja (vektora položaja, odnosno, Dekartovih koordinata svih tačaka MS) tog MS u trenutku t. MS iz posmatranog položaja na vezama, tj., u trenutku t, može da izvrši beskonačno mnogo, vezama dozvovoljenih elementarnih virtuelnih pomeranja. Za slobodne MS i MS na GSZV, ESP u trenutku t,a na bilo kom intervalu vremena [t,t+dt] je iz skupa vezama dozvoljenih EVP tog mehaničkog objekta u trenutku t. U slučaju MS na nestacionarnim, geometrijskim zadržavajućim vezama, ESP u trenutku t , a na bilo kom intervalu vremena [t,t+dt] nije iz skupa vezama dozvoljenih EVP tog mehaničkog objekta u trenutku t.
Sinhrone varijacije, tj., elementarne virtuelne promene svih 3N Dekartovih koordinata svih N tačaka MS čije kretanje ograničeno sa l GZV veza, nisu nezavisne. Ove varijacije moraju da zadovolje sistem od l jednačina koje izražavaju činjenicu da su sinhrone varijacije funkcija veza, u smislu jednačina veza, jednake nuli. To znači da je l sinhronih varijacija Dekartovih koordinata posmaranog vezanog MS određeno sa preostalih n= 3N-l međusobno nezavisnih sinhronih varijacija Dekartovih koordinata. Broj n međusobno nezavisnih sinhronih varijacija Dekartovih koordinata predstavlja broj nezavisnih EVP, kretanja, koje posmatrani MS može da izvrši u pravcima osa DKS Oxyz i naziva se broj stepeni slobode kretanja tog MS. Dalje je, umesto n međusobno nezavisnih Dekartovih koordinata tačaka MS, kao koordinata MS u DKS Oxyz , moguće uvesti n generalisanih (krivolinijskih) koordinatama, a pomoću odgovarujućih jednačina koordinatnih transformacija. Pomoću n generalisane koordinate MS, kao geometrijskih skalarnih veličina definisanih u DKS Oxyz , mogu se odrediti Dekartove koordinate svih tačaka MS.
Kretanje MS je poznato ukoliko su poznati zakoni promena generalisanih koordinata u vremenu. Izvodi po vremenu ovih funkcija su generalisane brzine MS. Sve ovo ima za posledicu sledeće: 1.- ako su veze stacionarne, vektori položaja tačaka MS u odnosu na pol O su funkcija n generalisanih koordinata; ako su veze nestacinarne, vektori položaja tačaka MS u odnosu na pol O funkcija su n generalisanih koordinata i vremena; 2.- vektori brzina tačaka MS čije je kretanje ograničeno GSZV, vektorske funkcije su generalisanih koordinata i generalisanih brzina na lineran način; 3.-vektori EVP tačaka MS su vektorske funkcije generalisanih koordinata i sinhronih varijacija(virtuelnih promena) generalisanih koordinatana na linearan način, gledano iz DKS Oxyz; 4.-kinetička energija svake tačke MS i MS kao celine je bilinearna kvadratna forma generalisanih brzina, pri čemu su koeficijenti te forme(koeficijenti inercije), u opštem slučaju, funkcija generalisanih koordinata; značenje svakog od ovih koeficijenata zavisi od prirode para generalisanih brzina na koji se posmatrani koeficijent odnosi; dakle, kinetička energija MS funkcija je n generalisanih koordinata i n generalisanih brzina; 5.-jednačine veza u generalisanim koordinatama su identički zadovoljene i dalje ih ne treba razmatrati; 6.- prostor n generalisanih koordinata je konfiguracini prostor MS, tj., on sadrži sve položaje i oblike MS; u opštem slučaju, taj n dimenzionaln prostor je neeuklidski prostor.
Linkovi za video klipovi koji prate ovo predavanja su:

https://youtu.be/WuIqSj8QBYQ
https://youtu.be/F_mOMzD3buA